v3.01.119 SSLL119 – Poutres soumises à des moments répartis#
Résumé:
L’objectif de ce test est de valider l’application de moments répartis sur les poutres.
Remarque: Les moments répartis sur les poutres sont affectés par les commandes AFFE_CHAR_MECA et AFFE_CHAR_MECA_F, opérande FORCE_POUTRE, mot-clés MX, MY, MZ, MT, MFY et MFZ. Ils sont applicables aux poutres droites à caractéristiques constantes.
Solution de référence#
Moment de torsion#
Une solution analytique pour le moment de torsion se trouve facilement par un calcul de Résistance des Matériaux.
Soit la poutre \(\mathit{AB}\) de longueur \(L\) , encastrée en \(A\) , si on applique un moment de torsion \(\mathit{mt}\) en un point \(C\) de \([\mathit{AB}]\) alors le moment résultant en \(A\) est \(\mathit{mt}\) . La réaction selon le moment est donc \(-\mathit{mt}\) .
En appliquant un moment de torsion linéaire, réparti sur la poutre, égal à \({\mathit{mt}}_{A}\) en \(A\) et à \({\mathit{mt}}_{B}\) en \(B\) , on obtient la réaction en moment \({M}_{A}\) en \(A\) :
\({M}_{A}=-{\int}_{0}^{L}{\mathit{mt}}_{A}+\frac{({\mathit{mt}}_{B}-{\mathit{mt}}_{A})}{L}x\mathit{dx}\)
\({M}_{A}=-L\frac{({\mathit{mt}}_{A}+{\mathit{mt}}_{B})}{2}\)
Moment fléchissant#
Les formulaires de Résistance des Matériaux fournissent des résultats de référence pour un moment selon \(Z\) appliqué au point \(C\) d’une poutre \(\mathit{AB}\) de longueur \(L\) encastrée en \(A\) et et en appui selon \(Y\) en \(B\) .
\({R}_{A}=-{R}_{B}=\frac{3\mathit{mfz}({L}^{2}-{b}^{2})}{{\mathrm{2L}}^{3}}\)
\({M}_{A}=\frac{\mathit{mfz}({L}^{2}-{\mathrm{3b}}^{2})}{{\mathrm{2L}}^{2}}\)
où \({R}_{A}\) est la réaction d’appui et \({M}_{A}\) le moment, en \(A\) .
En appliquant un moment fléchissant linéaire, réparti sur la poutre, égal à \({\mathit{mf}}_{A}\) en \(A\) et à \({\mathit{mf}}_{B}\) en \(B\) , on obtient:
\({R}_{A}=-{R}_{B}=\frac{3}{{\mathrm{2L}}^{3}}\underset{0}{\overset{L}{\int}}({\mathit{mf}}_{A}+\frac{({\mathit{mf}}_{B}-{\mathit{mf}}_{A})}{L}x)({L}^{2}-{(L-x)}^{2})\mathit{dx}\)
\({M}_{A}=\frac{1}{{\mathrm{2L}}^{2}}\underset{0}{\overset{L}{\int}}({\mathit{mf}}_{A}+\frac{({\mathit{mf}}_{B}-{\mathit{mf}}_{A})}{L}x)({L}^{2}-3{(L-x)}^{2})\mathit{dx}\)
Ce qui donne après intégration:
\({R}_{A}=-{R}_{B}=\frac{3{\mathit{mf}}_{A}+5{\mathit{mf}}_{B}}{8}\)
\({M}_{A}=L\frac{{\mathit{mf}}_{B}-{\mathit{mf}}_{A}}{8}\)
Remarque: Si on passe dans le plan \(\mathit{XOZ}\) avec l’application d’un moment selon \(Y\) , il faut multiplier les réactions par \(-1\) .
Incertitudes sur la solution#
Aucune.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Les modélisations POU_D_E, POU_D_T, POU_D_TG, POU_D_EM et POU_D_TGM sont affectées tour à tour sur le maillage.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué d’une maille SEG2.
Le repère local est identique au repère global.
Grandeurs testées et résultats#
Les valeurs testées sont les mêmes quelque soit la modélisation de poutre.
Moment de torsion réparti#
La charge appliquée dans ce cas obtenue par AFFE_CHAR_MECA_F/FORCE_POUTRE/MX ou MT.
Nœud |
Champ |
Composante |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
A |
REAC_NODA |
DRX |
-1500.0 |
0.1 |
Moment fléchissant réparti selon Y#
La charge appliquée dans ce cas obtenue par AFFE_CHAR_MECA_F/FORCE_POUTRE/MY ou MFY.
On précise que le nœud \(B\) est en appui selon \(Z\) .
Nœud |
Champ |
Composante |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
A |
REAC_NODA |
DZ |
-1625.0 |
0.1 |
A |
REAC_NODA |
DRY |
125.0 |
0.1 |
B |
REAC_NODA |
DZ |
1625.0 |
0.1 |
Moment fléchissant réparti selon Z#
La charge appliquée dans ce cas obtenue par AFFE_CHAR_MECA_F/FORCE_POUTRE/MZ ou MFZ.
On précise que le nœud \(B\) est en appui selon \(Y\) .
Nœud |
Champ |
Composante |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
A |
REAC_NODA |
DY |
1625.0 |
0.1 |
A |
REAC_NODA |
DRZ |
125.0 |
0.1 |
B |
REAC_NODA |
DY |
-1625.0 |
0.1 |
Moment fléchissant constant selon Y et Z#
La charge appliquée dans ce cas obtenue par AFFE_CHAR_MECA/FORCE_POUTRE/MFZ, MZ. MFY, MY, MX, MT.
Moment suivant \(Z\) , nœud \(B\) est en appui selon \(Y\) .
Nœud |
Champ |
Composante |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
A |
REAC_NODA |
DY |
1000.0 |
0.1 |
A |
REAC_NODA |
DRZ |
0.0 |
0.1 |
B |
REAC_NODA |
DY |
-1000.0 |
0.1 |
Moment suivant \(Y\) , nœud \(B\) est en appui selon \(Z\) .
Nœud |
Champ |
Composante |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
A |
REAC_NODA |
DZ |
-1000.0 |
0.1 |
A |
REAC_NODA |
DRY |
0.0 |
0.1 |
B |
REAC_NODA |
DZ |
1000.0 |
0.1 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Les modélisations POU_D_E, POU_D_T, POU_D_TG, POU_D_EM et POU_D_TGM sont affectées tour à tour sur le maillage.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 10 mailles SEG2.
On précise la correspondance entre le repère local et le repère global:
Repère local |
Repère global |
x |
Z |
y |
Y |
z |
-X |
Grandeurs testées et résultats#
Les valeurs testées sont les mêmes quelque soit la modélisation de poutre.
Moment de torsion réparti#
La charge appliquée dans ce cas obtenue par AFFE_CHAR_MECA_F/FORCE_POUTRE/MZ ou MT.
Nœud |
Champ |
Composante |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
A |
REAC_NODA |
DRZ |
-1500.0 |
0.1 |
Moment fléchissant réparti selon Y#
La charge appliquée dans ce cas obtenue par AFFE_CHAR_MECA_F/FORCE_POUTRE/MY ou MFY.
On précise que le nœud \(B\) est en appui selon \(X\) .
Nœud |
Champ |
Composante |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
A |
REAC_NODA |
DX |
1625.0 |
0.1 |
A |
REAC_NODA |
DRY |
125.0 |
0.1 |
B |
REAC_NODA |
DX |
-1625.0 |
0.1 |
Moment fléchissant réparti selon X#
La charge appliquée dans ce cas obtenue par AFFE_CHAR_MECA_F/FORCE_POUTRE/MX ou MFZ.
On précise que le nœud \(B\) est en appui selon \(Y\) .
Nœud |
Champ |
Composante |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
A |
REAC_NODA |
DY |
1625.0 |
0.1 |
A |
REAC_NODA |
DRX |
-125.0 |
0.1 |
B |
REAC_NODA |
DY |
-1625.0 |
0.1 |
Synthèse des résultats#
Pour chaque modélisation traitée, les résultats sont très proches de la solution analytique.
Ceci valide l’utilisation de moments répartis dans Code_Aster .