v6.04.105 SSNV105 - Modèle BETON_GRANGER_V : essai de fluage avec prise en compte de l’humidité relative et du vieillissement.#
Résumé:
Ce cas-test de mécanique quasi-statique non linéaire simule un essai de fluage uniaxial. Il a pour objectif de valider la relation de comportement de «Granger», permettant de modéliser le fluage propre des bétons. Ce modèle permet de prendre en compte les effets de l’hygrométrie et du vieillissement.
Il s’agit d’un cas-test sur le point matériel, réalisés à l’aide de la commande SIMU_POINT_MAT.
La contrainte appliquée est constante. On étudie séparément l’effet de l’hygrométrie et du vieillissement:
ssnv105a: l’humidité relative décroît linéairement, le béton est non-vieillissant;
ssnv105b: l’humidité relative est constante et égale à la valeur de référence, le béton est vieillissant.
Les résultats obtenus par Code_Aster sont comparés avec la solution analytique de référence.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Il s’agit d’un test \(\mathrm{1D}\) . La contrainte uniaxiale vaut: \(\sigma ={\sigma}_{0}\cdot H({t}_{0})\) où \({t}_{0}\) est l’instant de chargement. La fonction de Heavyside \(H({t}_{0})\) permet d’appliquer le chargement \({\sigma}_{0}\) instantanément.
On définit la contrainte équivalente \(S(t)=h(t)\cdot \sigma (t)\) . On a: \({S}_{0}=S({t}_{0})={\sigma}_{0}\cdot {h}_{0}\) .
On peut expliciter le saut initial de contrainte en écrivant la déformation de fluage de la manière suivante:
\({\epsilon}^{\mathit{fl}}(t)={S}_{0}J(t,{t}_{0})+\underset{\tau ={t}_{0}}{\overset{\tau =t}{\int}}J(t,\tau )\dot{S}\text{d}\tau\)
Modélisation A#
Dans la modélisation A, on a:
Pour \(t>{t}_{0}^{+}\) on a: \(S(t)={\sigma}_{0}\left({h}_{0}+\left({h}_{f}-{h}_{0}\right)\frac{t-{t}_{0}}{{t}_{f}-{t}_{0}}\right)\) donc: \(\dot{S}={\sigma}_{0}\frac{{h}_{f}-{h}_{0}}{{t}_{f}-{t}_{0}}\)
\(J(t,\tau )=\sum_{s=1}^{8}{J}_{s}\cdot \left(1-\exp\left[-\frac{t-\tau }{{\tau}_{s}}\right]\right)\)
\({\epsilon}^{\mathit{fl}}(t)={\sigma}_{0}{h}_{0}J(t,{t}_{0})+\underset{\tau ={t}_{0}}{\overset{\tau =t}{\int}}J(t,\tau ){\sigma}_{0}\frac{{h}_{f}-{h}_{0}}{{t}_{f}-{t}_{0}}\text{d}\tau\)
En remplaçant \(J(t,\tau )\) on a:
\({\epsilon}^{\mathit{fl}}(t)={\sigma}_{0}{h}_{0}J(t,{t}_{0})+{\sigma}_{0}\frac{{h}_{f}-{h}_{0}}{{t}_{f}-{t}_{0}}\sum_{s=1}^{8}{J}_{s}\underset{\tau ={t}_{0}}{\overset{\tau =t}{\int}}\left(1-\exp\left[-\frac{t-\tau }{{\tau}_{s}}\right]\right)\text{d}\tau\)
On obtient:
\(\begin{array}{c}{\epsilon}^{\mathit{fl}}(t)={\sigma}_{0}{h}_{0}\sum_{s=1}^{8}{J}_{s}\left(1-\exp\left[-\frac{t-{t}_{0}}{{\tau}_{s}}\right]\right)\\ -{\sigma}_{0}\frac{{h}_{f}-{h}_{0}}{{t}_{f}-{t}_{0}}\sum_{s=1}^{8}{\tau}_{s}{J}_{s}\left(1-\exp\left[-\frac{t-{t}_{0}}{{\tau}_{s}}\right]\right)+{\sigma}_{0}\frac{{h}_{f}-{h}_{0}}{{t}_{f}-{t}_{0}}\left(\sum_{s=1}^{8}{J}_{s}\right)\left(t-{t}_{0}\right)\end{array}\)
La déformation totale se calcule comme la somme de la déformation de fluage et de la déformation élastique:
\(\epsilon (t)={\epsilon}^{e}(t)+{\epsilon}^{\mathit{fl}}(t)=\frac{{\sigma}_{0}}{E}+{\epsilon}^{\mathit{fl}}(t)\)
Modélisation B#
Dans la modélisation B, on a:
Pour \(t>{t}_{0}^{+}\) on a: \(S(t)={\sigma}_{0}{h}_{0}=\mathit{constante}\) donc: \(\dot{S}=0\)
\(J(t,\tau )=k(\tau )\sum_{s=1}^{8}{J}_{s}\cdot \left(1-\exp\left[-\frac{t-\tau }{{\tau}_{s}}\right]\right)\)
On a donc:
\({\epsilon}^{\mathit{fl}}(t)={\sigma}_{0}{h}_{0}\sum_{s=1}^{8}k({t}_{0}){J}_{s}.\left(1-\exp\left[-\frac{t-{t}_{0}}{{\tau}_{s}}\right]\right)\)
La déformation totale vaut:
\(\epsilon (t)={\epsilon}^{e}(t)+{\epsilon}^{\mathit{fl}}(t)=\frac{{\sigma}_{0}}{E}+{\epsilon}^{\mathit{fl}}(t)\)
Résultats de référence#
On s’intéressera aux valeurs des déformations à 365 jours.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Il s’agit d’un test sur le point matériel.
L’humidité relative varie de manière linéaire sur l’intervalle de temps considéré dans l’étude: \({h}_{0}=1\) au temps initial \({t}_{0}=0\) et \({h}_{f}=50\) au temps final \({t}_{f}=365\) jours.
Il n’y a pas de vieillissement.
Caractéristiques du maillage#
Néant
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de la déformation longitudinale (dans la direction du chargement) \({\epsilon}_{zz}^{\mathit{fl}}\) à 365 jours.
Variables |
Instant |
Référence |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{fl}}\) |
31536000.0 sec (365 jours) |
0.0005328650 |
Tableau 3.3-1
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Il s’agit d’un test sur le point matériel.
L’humidité relative est constante sur l’intervalle de temps considéré dans l’étude: \({h}_{0}=1\) .
L’instant initiale du calcul est \({t}_{0}=0\) , l’instant final est \({t}_{f}=365\) jours.
On prend en compte le vieillissement. Le matériau est chargé à trois âges différents: 2, 10 et 28 jours.
Afin de modifier l’âge de chargement, on initialise la variable interne correspondante (V55) dans ETAT_INIT de STAT_NON_LINE.
Caractéristiques du maillage#
Néant
Grandeurs testées et résultats#
On teste les valeurs de la déformation longitudinale \({\epsilon}_{zz}^{\mathit{fl}}\) aux numéros d’ordre correspondant à 365 jours.
Age au chargement |
Variable testé |
Instant |
Référence |
2 |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{fl}}\) |
365 jours |
0.0008647473 |
10 |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{fl}}\) |
365 jours |
0.0007271718 |
28 |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{fl}}\) |
365 jours |
0.0006574566 |
Tableau 4.3-1
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus avec Code_Aster sont proches de ceux de la solution de référence (écarts \(<{10}^{-4}\text{%}\) )