v2.02.002 SDLL02 - Poutre élancée, encastrée-libre, repliée sur elle même#
Résumé:
Ce problème bidimensionnel consiste à rechercher les fréquences et les modes de vibration d’une structure mécanique, composée d’une poutre élancée, encastrée libre et repliée sur elle-même.
Le problème posé n’a pas de signification physique. Il permet par contre de valider la recherche des fréquences propres de flexion multiples et la recherche des modes doubles dans un sous-espace d’ordre 2.
Dans ce test, on effectue trois modélisations différentes:
dans la première modélisation, les conditions aux limites sont imposées à l’aide de paramètres de Lagrange (commande AFFE_CHAR_MECA) et les valeurs et vecteurs propres sont calculés par la méthode de Lanczos (commande CALC_MODES, METHODE=”TRI_DIAG” sous le mot-clé facteur SOLVEUR_MODAL),
dans la deuxième modélisation, les conditions aux limites sont imposées en supprimant des degrés de liberté dans les matrices de masse et de raideur (commande AFFE_CHAR_CINE) et les valeurs et vecteurs propres sont calculés par la méthode de Bathe et Wilson (commande CALC_MODES, METHODE=”JACOBI” sous le mot-clé facteur SOLVEUR_MODAL)
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLL02/89 du guide VPCS qui présente la méthode de calcul de la façon suivante:
Par la méthode de raideur dynamique, on montre que la poutre repliée admet des fréquences doubles, solution de :
\(\begin{array}{ccc}\cos(\lambda )=0& \mathrm{\Rightarrow }& {\lambda}_{i}=(\mathrm{2i}-1)\frac{\pi}{2}\\ {f}_{i}=\frac{1}{2\pi }\frac{{\lambda}_{i}^{2}}{{L}^{2}}\sqrt{\frac{{\mathit{EI}}_{z}}{\rho A}}& & i=1,2,\mathrm{...}\end{array}\)
Pour une section rectangulaire, on obtient :
\({f}_{i}={(\mathrm{2i}-1)}^{2}\pi \frac{R}{{\mathrm{8L}}^{2}}\sqrt{\frac{E}{12\rho }}\) \(i=1,2,\mathrm{...}\)
Cette formulation néglige les déformations d’effort tranchant et d’inertie de rotation (poutre d’Euler-Bernoulli).
Pour les modes propres, les formes sont données dans le guide VPCS. Ils sont normés à 1 ou –1 au point de plus grande amplitude. On a des résultats seulement pour les modes 1, 2, 3, 4, 7 et 8. Par exemple, les formes des deux premiers modes propres sont les suivantes :
Remarque:
Dans Code_Aster, quand une valeur propre est multiple, les modes propres associés à cette valeur propre, même s’ils sont normés et orthogonaux deux à deux, sont, a priori, imprévisibles. On ne sait pas, pour l’instant, tester la forme d’un mode multiple.
Résultats de référence#
Les résultats de référence sont les huit premières fréquences propres.
Incertitude sur la solution#
Il n’y a pas d’incertitude sur la solution car elle est analytique.
Références bibliographiques#
PIRANDA J. : Cours et Travaux Dirigés de Vibrations des Structures - Option Mécanique - Ecole Nationale Supérieure de Mécanique et Micromécanique - Laboratoire de Mécanique Appliquée - Besançon (France (1983).)
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On a découpé la poutre en 20 mailles SEG2 (10 pour la partie AB et 10 pour la partie \(\mathrm{BC}\) ).
La modélisation utilisée pour les poutres est celle d’Euler Bernoulli (POU_D_E).
On recherche des solutions bidimensionnelles. On peut donc bloquer pour tous les nœuds le déplacement \(\mathrm{DZ}\) et les rotations \(\mathrm{DRX}\) et \(\mathrm{DRY}\) .
L’extrémité de la poutre (point \(A\) ) est encastrée d’où en ce point :
\(\mathrm{DX}=\mathrm{DY}=0.\) \(\mathrm{DRZ}=0.\)
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 21 nœuds et 20 mailles de type SEG2.
Les points caractéristiques du maillage sont les suivants :
Point \(A=A\) |
Point \(B=B\) |
Point \(C=C\) |
Grandeurs testées et résultats#
Pour les fréquences de vibration de la structure, on a les résultats suivants :
Identification |
Référence |
Fréquence 1 |
11.76 |
Fréquence 2 |
11.76 |
Fréquence 3 |
105.88 |
Fréquence 4 |
105.88 |
Fréquence 5 |
294.10 |
Fréquence 6 |
294.10 |
Fréquence 7 |
576.44 |
Fréquence 8 |
576.44 |
Remarques#
Pour les fréquences propres, les résultats obtenus sont très bons (erreur < 0.1%).
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
On a découpé la poutre en 20 mailles SEG2 (10 pour la partie \(\mathrm{AB}\) et 10 pour la partie \(\mathrm{BC}\) ).
La modélisation utilisée pour les poutres est celle d’Euler Bernouilli (POU_D_E).
On recherche des solutions bidimensionnelles. On peut donc bloquer pour tous les nœuds le déplacement \(\mathrm{DZ}\) et les rotations \(\mathrm{DRX}\) et \(\mathrm{DRY}\) .
L’extrémité de la poutre (point \(A\) ) est encastrée d’où en ce point :
\(\mathrm{DX}=\mathrm{DY}=0.\) \(\mathrm{DRZ}=0.\)
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 21 nœuds et 20 mailles de type SEG2.
Les points caractéristiques du maillage sont les suivants :
Point \(A=A\) |
Point \(B=B\) |
Point \(C=C\) |
Grandeurs testées et résultats#
Pour les fréquences de vibration de la structure, on a les résultats suivants :
Identification |
Référence |
Fréquence 1 |
11.76 |
Fréquence 2 |
11.76 |
Fréquence 3 |
105.88 |
Fréquence 4 |
105.88 |
Fréquence 5 |
294.10 |
Fréquence 6 |
294.10 |
Fréquence 7 |
576.44 |
Fréquence 8 |
576.44 |
Remarques#
Pour les fréquences propres, les résultats obtenus sont très bons (erreur < 0.1%).
Synthèse des résultats#
Modélisations A et B de type Poutre :
Le problème est traité avec une très bonne précision sur les huit premières fréquences (tolérance \(\text{< 0.1\%}\) ) pour les deux modélisations testées.