v2.02.146 SDLL146 -Validation des éléments « barres » en dynamique#
Résumé:
L’objectif de ce test est de valider le calcul de la matrice de masse des éléments BARRE. On vérifie que cette matrice est bien tri-directionnelle contrairement à la matrice de rigidité (uni-directionnelle parallèlement à l’orientation de l’élément). Pour cela on fait les calculs suivants:
Calcul des forces internes et des réactions d’appui d’un élément encastré soumis à un champ de pesanteur selon 3 directions (parallèles à \(X\) , \(Y\) et \(Z\) ).
Projection de la matrice de masse sur une base composée de trois modes (parallèles à \(X\) , \(Y\) et \(Z\) ).
Calcul de l’énergie cinétique pour trois modes de vitesse (parallèles à \(X\) , \(Y\) et \(Z\) ).
Remarque: tous les calculs sont faits avec la matrice de masse complète et avec la matrice de masse diagonale excepté pour le calcul de l’énergie cinétique qui est réalisé avec la matrice de masse complète.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Rappels#
La modélisation BARRE ne transmet ni effort tranchant ni moment fléchissant. De ce fait, si on note \(E\) le module d’Young de l’élément, \(A\) l’aire de sa section et \(L\) sa longueur, la matrice de rigidité élémentaire \({K}^{\mathit{elem}}\) d’une barre est la suivante (avec les composantes dans l’ordre \(({\mathrm{DX}}_{1}{\mathrm{DY}}_{1}{\mathrm{DZ}}_{1}{\mathrm{DX}}_{2}{\mathrm{DY}}_{2}{\mathrm{DZ}}_{2})\) ):
\({K}^{\mathit{elem}}=(\begin{array}{cccccc}\frac{\mathit{EA}}{L}& 0& 0& \frac{-\mathit{EA}}{L}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ \frac{-\mathit{EA}}{L}& 0& 0& \frac{\mathit{EA}}{L}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array})\)
Le profil de la matrice de masse \({M}^{\mathit{elem}}\) est différent de la matrice de rigidité car la masse doit être prise en compte dans toutes les directions de l’espace. Ainsi, si on note \(\rho\) la masse volumique de l’élément, la matrice de masse élémentaire, avec \(m=\rho AL\) , est la suivante :
\({M}^{\mathit{elem}}=(\begin{array}{cccccc}m/3& 0& 0& m/6& 0& 0\\ 0& m/3& 0& 0& m/6& 0\\ 0& 0& m/3& 0& 0& m/6\\ m/6& 0& 0& m/3& 0& 0\\ 0& m/6& 0& 0& m/3& 0\\ 0& 0& m/6& 0& 0& m/3\end{array})\)
Calcul des forces internes et des réactions d’appui#
Soit \(m\) la masse de l’élément et \(U\) le déplacement, alors si on choisit un champ de pesanteur selon \(X\) , les forces externes en chaque nœud sont les suivantes: \((-m/2,0,0)\) . Pour un comportement élastique de rigidité \(K\) , le seul déplacement non imposé \({U}_{{B}_{X}}\) est égal à \(\frac{{F}_{{B}_{X}}^{\mathit{ext}}}{K}=\frac{-m}{\mathrm{2K}}\) .
Si on note \({K}^{\mathit{elem}}\) la matrice de rigidité élémentaire, on a la relation \({F}^{int}={K}^{\mathit{elem}}U\) . On obtient les résultats suivants pour les forces internes: \({F}_{{O}_{X}}^{int}=\frac{m}{2}\) , \({F}_{{O}_{Y}}^{int}=0\) , \({F}_{{O}_{Z}}^{int}=0\) , \({F}_{{B}_{X}}^{int}=\frac{-m}{2}\) , \({F}_{{B}_{Y}}^{int}=0\) et \({F}_{{B}_{Z}}^{int}=0\) .
En notant \({R}^{\mathit{ap}}\) les réactions d’appui, on a la relation \({R}^{\mathit{ap}}={F}^{int}-{F}^{\mathit{ext}}\) . On a donc facilement : \({R}_{{O}_{X}}^{\mathit{ap}}=m\) et toutes les autres composantes nulles.
Remarque: pour les directions de chargement \(Y\) et \(Z\) , il n’y a pas de déplacement donc les forces internes sont nulles et les réactions d’appui sont égales aux forces externes.
Projection de la matrice de masse sur une base modale#
Ce calcul a pour but de vérifier que pour un mode de déplacement unitaire \(\phi\) selon une direction donnée, on a l’égalité:
\({\phi }^{T}M\phi =m\)
Calcul de l’énergie cinétique#
Ce calcul a pour but de vérifier que pour un mode de vitesse unitaire \(\phi\) selon une direction donnée, on a l’égalité:
\(\frac{1}{2}{\phi }^{T}M\phi =\frac{\mathit{mv}}{2}\) avec \(v=1\)
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation BARRE.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 1 élément de type SEG2.
Grandeurs testées et résultats#
Réactions d’appui et forces internes aux deux nœuds de la maille.#
Matrice complète pesanteur selon \(X\) :
Grandeur |
Lieu |
Composante |
Type de référence |
Valeur de référence (N) |
Tolérance (%) |
REAC_NODA |
Nœud N001 |
\(\mathrm{DX}\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 |
1.0E-4 |
REAC_NODA |
Nœud N002 |
\(\mathrm{DX}\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
1.0E-4 |
FORC_NODA |
Nœud N001 |
\(\mathrm{DX}\) |
“ANALYTIQUE” |
-50 |
1.0E-4 |
FORC_NODA |
Nœud N002 |
\(\mathrm{DX}\) |
“ANALYTIQUE” |
-50 |
1.0E-4 |
Matrice complète pesanteur selon \(Y\) :
Grandeur |
Lieu |
Composante |
Type de référence |
Valeur de référence (N) |
Tolérance (%) |
REAC_NODA |
Nœud N001 |
\(\mathit{DY}\) |
“ANALYTIQUE” |
-50 |
1.0E-4 |
REAC_NODA |
Nœud N002 |
\(\mathit{DY}\) |
“ANALYTIQUE” |
-50 |
1.0E-4 |
FORC_NODA |
Nœud N001 |
\(\mathit{DY}\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
1.0E-4 |
FORC_NODA |
Nœud N002 |
\(\mathit{DY}\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
1.0E-4 |
Matrice complète pesanteur selon \(Z\) :
Grandeur |
Lieu |
Composante |
Type de référence |
Valeur de référence (N) |
Tolérance (%) |
REAC_NODA |
Nœud N001 |
\(\mathit{DZ}\) |
“ANALYTIQUE” |
-50 |
1.0E-4 |
REAC_NODA |
Nœud N002 |
\(\mathit{DZ}\) |
“ANALYTIQUE” |
-50 |
1.0E-4 |
FORC_NODA |
Nœud N001 |
\(\mathit{DZ}\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
1.0E-4 |
FORC_NODA |
Nœud N002 |
\(\mathit{DZ}\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
1.0E-4 |
Matrice diagonale pesanteur selon \(X\) :
Grandeur |
Lieu |
Composante |
Type de référence |
Valeur de référence (N) |
Tolérance (%) |
REAC_NODA |
Nœud N001 |
\(\mathrm{DX}\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 |
1.0E-4 |
REAC_NODA |
Nœud N002 |
\(\mathrm{DX}\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
1.0E-4 |
FORC_NODA |
Nœud N001 |
\(\mathrm{DX}\) |
“ANALYTIQUE” |
-50 |
1.0E-4 |
FORC_NODA |
Nœud N002 |
\(\mathrm{DX}\) |
“ANALYTIQUE” |
-50 |
1.0E-4 |
Matrice diagonale pesanteur selon \(Y\) :
Grandeur |
Lieu |
Composante |
Type de référence |
Valeur de référence (N) |
Tolérance (%) |
REAC_NODA |
Nœud N001 |
\(\mathit{DY}\) |
“ANALYTIQUE” |
-50 |
1.0E-4 |
REAC_NODA |
Nœud N002 |
\(\mathit{DY}\) |
“ANALYTIQUE” |
-50 |
1.0E-4 |
FORC_NODA |
Nœud N001 |
\(\mathit{DY}\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
1.0E-4 |
FORC_NODA |
Nœud N002 |
\(\mathit{DY}\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
1.0E-4 |
Matrice diagonale pesanteur selon \(Z\) :
Grandeur |
Lieu |
Composante |
Type de référence |
Valeur de référence (N) |
Tolérance (%) |
REAC_NODA |
Nœud N001 |
\(\mathit{DZ}\) |
“ANALYTIQUE” |
-50 |
1.0E-4 |
REAC_NODA |
Nœud N002 |
\(\mathit{DZ}\) |
“ANALYTIQUE” |
-50 |
1.0E-4 |
FORC_NODA |
Nœud N001 |
\(\mathit{DZ}\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
1.0E-4 |
FORC_NODA |
Nœud N002 |
\(\mathit{DZ}\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
1.0E-4 |
Projection de la matrice de masse sur la base modale#
Matrice complète
TABLE |
Type de référence |
Valeur de référence (kg) |
Tolérance (%) |
TABX |
“ANALYTIQUE” |
100.0 |
1.0E-4 |
TABY |
“ANALYTIQUE” |
100.0 |
1.0E-4 |
TABZ |
“ANALYTIQUE” |
100.0 |
1.0E-4 |
Matrice diagonale
TABLE |
Type de référence |
Valeur de référence (kg) |
Tolérance (%) |
TABX |
“ANALYTIQUE” |
100.0 |
1.0E-4 |
TABY |
“ANALYTIQUE” |
100.0 |
1.0E-4 |
TABZ |
“ANALYTIQUE” |
100.0 |
1.0E-4 |
Énergie cinétique#
Matrice complète
TABLE |
NOM_PARA |
Type de référence |
Valeur de référence (J) |
Tolérance (%) |
TABX |
TOTALE |
“ANALYTIQUE” |
50.0 |
1.0E-4 |
TABY |
TOTALE |
“ANALYTIQUE” |
50.0 |
1.0E-4 |
TABZ |
TOTALE |
“ANALYTIQUE” |
50.0 |
1.0E-4 |
Synthèse des résultats#
Les tests effectués dans cette documentation montrent que la masse de l’élément BARRE est appliquée dans les trois directions de l’espace.