r5.03.34 Loi de comportement viscoélastique REGU_VISC_ELAS#

Résumé:

Pour régulariser certaines formes d’instabilités quasi-statiques, une technique de régularisation accessible dans STAT_NON_LINEvia le mot-clé REGU_VISC s’appuie sur la superposition des contraintes de comportement avec des contraintes viscoélastiques, ces dernières pouvant conférer au système la stabilisation escomptée. La loi de comportement REGU_VISC_ELAS gouverne l’évolution de ces contraintes de régularisation via un modèle de Maxwell. Elle n’est accessible qu’à travers cette fonctionnalité de régularisation.

Modèle continu#

Équations de comportement#

Le modèle de Maxwell s’écrit simplement:

(2162)#\[{\sigma}^{v}=k(\epsilon -{\epsilon}^{v});{\sigma}_{v}=k\tau {\dot{\epsilon}}^{v}\]

où \({\sigma}^{v}\) désigne le tenseur de contrainte visqueuse et \({\dot{\epsilon}}^{v}\) le tenseur de déformation visqueuse associée à l’amortisseur.On peut éliminer la déformation visqueuse pour obtenir l’équation d’évolution de la contrainte visqueuse:

(2163)#\[{\dot{\sigma}}^{v}+\frac{1}{\tau}{\sigma}^{v}=k\dot{\epsilon}\]

L’état initial par défaut correspond à une contrainte visqueuse nulle.

Définition des énergies#

L’énergie volumique stockée dans le ressort de la branche visqueuse vaut:

(2164)#\[\text{VISCELAS}=\frac{1}{2k}{\sigma}^{v}:{\sigma}^{v}\]

Quant à l’énergie volumique dissipée par viscosité, elle s’écrit:

(2165)#\[\text{VISCDISS}=\frac{1}{k\tau }{\int}_{0}^{t}{\sigma}^{v}:{\sigma}^{v}\mathit{dt}\]

Intégration numérique#

Équations discrétisées#

La discrétisation en temps des équations de comportement s’appuie sur un schéma d’ordre 1.On note \({Q}_{n}\) la valeur d’une quantité \(Q\) au début du pas de temps, \(\Delta Q\) son incrément pendant le pas de temps et (simplement) \(Q\) sa valeur en fin de pas de temps. L’état mécanique au début du pas de temps \(({\epsilon}_{n},{{\sigma}^{v}}_{n})\) est supposé connu ainsi que l’incrément de déformation \(\Delta \epsilon\) (et donc également la déformation \(\epsilon\) ). Il s’agit alors de calculer la contrainte \({\sigma}^{v}\) à la fin du pas de temps.

La discrétisation de la relation contrainte – déformation () s’écrit comme suit:

(2166)#\[{\dot{\sigma}}^{v}+\frac{1}{\tau}{\sigma}^{v}=k\frac{\Delta \epsilon }{\Delta t};{\sigma}^{v}({t}_{n})={{\sigma}^{v}}_{n}\]

Le second membre est alors constant, si bien que la solution de cette équation différentielle s’écrit:

(2167)#\[{\sigma}^{v}={A}_{\Delta t}{{\sigma}^{v}}_{n}+{B}_{\Delta t}\Delta \epsilon ;{A}_{\Delta t}=\exp\left(-\frac{\Delta t}{\tau}\right);{B}_{\Delta t}=\frac{k\tau }{\Delta t}\left[1-\exp\left(-\frac{\Delta t}{\tau}\right)\right]\]

Le calcul de la contrainte visqueuse est donc explicite.

Matrice tangente#

La dérivée de l’expression () fournit immédiatement la matrice tangente:

(2168)#\[\frac{d{\sigma}^{v}}{d\epsilon }={B}_{\Delta t}{I}_{4}\]

où \({I}_{4}\) désigne le tenseur identité d’ordre 4.

Dans la perspective d’une prédiction par matrice tangente, le terme d’ordre 0 du développement limité de la loi de comportement discrétisée () ne correspond pas à la contrainte visqueuse au début du pas de temps mais à:

(2169)#\[{\sigma}^{0}={A}_{\Delta t}{{\sigma}^{v}}_{n}\]

C’est la contrainte à fournir à l’option RIGI_MECA_TANG.

Calcul des énergies#

L’énergie volumique stockée () est une fonction explicite des contraintes visqueuses et ne pose aucune difficulté. L’énergie volumique dissipée par viscosité () introduit une intégrale qu’on évaluera par une méthode de point milieu (ce qui est compatible avec l’ordre 1 du schéma d’intégration de la loi de comportement):

(2170)#\[\text{VISCDISS}:=\text{VISCDISS}+\frac{\Delta t}{k\tau }{\left[\frac{{{\sigma}^{v}}_{n}+{\sigma}^{v}}{2}\right]}^{2}\]

Description des versions du document#

Version Aster	Auteur(s) Organisme(s)	Description des modifications
15.2	E.LORENTZ, EDF-R&D/ERMES	Texte initial

Bibliographie#

Lorentz E., Andrieux S. (1999) A variational formulation for nonlocal damage models. Int. J. Plas. 15, 119-138.
Lorentz E., Drouet G., Hamon F. (2020) Stabilisation numérique d’un modèle de comportement adoucissant par régularisation viscoélastique. Note interne EDF R&D 6125-1724-2020-01606.