v3.03.110 SSLS110 - Stabilité d’une plaque carrée comprimée#
Résumé :
Une plaque carrée élastique linéaire isotrope homogène simplement appuyée sur ses quatre côtés est soumise à une force linéique de compression agissant sur deux de ses côtés.
On calcule les charges critiques conduisant au flambement élastique de la plaque. La matrice de rigidité géométrique utilisée dans la résolution du problème aux valeurs propres est celle qui est due aux contraintes initiales.
mécanique élastique linéaire,
flambement d’une coque,
intérêt du test : calcul de la matrice de rigidité géométrique des éléments DKT, DKTG et COQUE_3D,
6 modélisations.
Solution de référence#
Solution de référence#
Charges critiques
La solution analytique obtenue avec une théorie de plaque mince en élasticité linéaire homogène isotrope [bib1] sans prise en compte de l’énergie de cisaillement transverse détermine la
ème charge critique:
\({q}_{\mathit{cr}I}=\frac{D{\pi}^{2}}{{L}^{2}}{(i+\frac{1}{i})}^{2}\)
avec:
\(D=\frac{E{h}^{3}}{12(1-{\nu}^{2})}\) : le coefficient de rigidité de flexion de la coque
\(h\) : l’épaisseur
\(L\) : la longueur du côté de la plaque carrée.
Déformation de membrane
L’expression analytique de la déformation de membrane suivant l’axe \(X\) est la suivante :
\({e}_{xx}=\frac{q\times L}{(h\times L\times E)}\)
Le résultat de référence a été calculé avec \(q=1.N/\mathit{mm}\)
Résultats de référence#
Certains modes correspondant aux charges critiques de la solution analytique ne sont pas symétriques et ne peuvent pas être captés avec les conditions de symétrie pour un quart de plaque. Les Valeurs des charges critiques obtenues correspondent donc aux 3 premiers modes symétriques de flambement:
Mode 1 du quart de la plaque = Mode 1 de toute la plaque
Mode 2 du quart de la plaque = Mode 3 de toute la plaque
Mode 3 du quart de la plaque = Mode 5 de toute la plaque
Incertitude sur la solution#
Solution exacte pour une théorie de plaque sans cisaillement transverse.
Références bibliographiques#
EISLEY « Mechanics of Elastic Structures: Classical ans Finite Element Methods ». Prentice Hall, Englewood Cliffs N.J. 07632 (19XX).
« Stability of Square Plate Under Biaxial Loading ». The SAMCEF User’s Manuals V7.1. (1998).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
MEC3QU9H (COQUE_3D)
modélisation COQUE_3D
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 121
Nombre de mailles et types : 25 QUAD9
Valeurs testées#
Charges critiques
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance % |
mode 1 |
“ANALYTIQUE” |
3.79600E+02 |
1.0 |
mode 2 |
“ANALYTIQUE” |
1.05444E+03 |
0.6 |
mode 3 |
“ANALYTIQUE” |
2.56609E+03 |
0.4 |
Déformation de membrane
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance% |
||
Valeur |
Maille |
Nœud |
|||
\(\mathit{EXX}\) |
\(\mathit{MA000045}\) |
\(\mathit{NC000003}\) |
“ANALYTIQUE” |
–9.5238095E-07 |
1.e-4 |
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance% |
||
Valeur |
Maille |
Point |
|||
\(\mathit{EXX}\) |
\(\mathit{MA000045}\) |
\(1\) |
“ANALYTIQUE” |
–9.5238095E-07 |
1.e-4 |
Remarques#
L’énergie due au cisaillement transverse n’est pas négligée.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
MEC3TR7H (COQUE_3D)
modélisation COQUE_3D
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 641
Nombre de mailles et types : 200 TRIA7
Valeurs testées#
Charges critiques
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance % |
mode 1 |
“ANALYTIQUE” |
3.79600E+02 |
0.6 |
mode 2 |
“ANALYTIQUE” |
1.05444E+03 |
0.3 |
mode 3 |
“ANALYTIQUE” |
2.56609E+03 |
0.7 |
Déformation de membrane
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance% |
||
Valeur |
Maille |
Nœud |
|||
\(\mathit{EXX}\) |
\(\mathit{MA000240}\) |
\(\mathit{NC000003}\) |
“ANALYTIQUE” |
–9.5238095E-07 |
1.e-4 |
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance% |
||
Valeur |
Maille |
Point |
|||
\(\mathit{EXX}\) |
\(\mathit{MA000240}\) |
\(1\) |
“ANALYTIQUE” |
–9.5238095E-07 |
1.e-4 |
Remarques#
L’énergie due au cisaillement transverse n’est pas négligée.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
MEDKQU4 (modélisation DKT)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 121
Nombre de mailles et types : 100 QUAD4
Valeurs testées#
Charges critiques
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance % |
mode 1 |
“ANALYTIQUE” |
3.79600E+02 |
3.0 |
mode 2 |
“ANALYTIQUE” |
1.05444E+03 |
2.0 |
mode 3 |
“ANALYTIQUE” |
2.56609E+03 |
5.5 |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
MEDKTR3 (modélisation DKT)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 121
Nombre de mailles et types : 200 TRIA3
Valeurs testées#
Charges critiques
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance % |
mode 1 |
“ANALYTIQUE” |
3.79600E+02 |
0.01 |
mode 2 |
“ANALYTIQUE” |
1.05444E+03 |
2.0 |
mode 3 |
“ANALYTIQUE” |
2.56609E+03 |
5.0 |
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
MEDKQU4 (modélisation DKTG)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 121
Nombre de mailles et types : 100 QUAD4
Valeurs testées#
Charges critiques
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance % |
mode 1 |
“ANALYTIQUE” |
3.79600E+02 |
3.0 |
mode 2 |
“ANALYTIQUE” |
1.05444E+03 |
2.0 |
mode 3 |
“ANALYTIQUE” |
2.56609E+03 |
5.5 |
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus :
Modélisation COQUE_3D : sont très satisfaisants pour les deux types d’éléments, QUAD9 et TRIA7, même s’il est nécessaire d’employer un plus grand nombre d’éléments triangles.
Modélisations DKT et DKTG : sauf pour le mode 1 (mailles TRIA3), sont moins bons que la modélisation COQUE_3D mais sont néanmoins satisfaisants pour les deux types d’éléments, QUAD4 et TRIA3.