v2.03.106 SDLS106 - Calcul modal d’une plaque rectangulaire simplement appuyée sur tous ses bords#
Résumé:
Ce test du domaine de l’analyse modale met en œuvre le calcul de modes propres de flexion d’une plaque rectangulaire simplement appuyée sur tous ses bords.
Le calcul est fait
soit en sous‑structuration sur base modale de Ritz, avec une interface de type Craig-Bampton ou Mac Neal;
soit de manière directe.
La solution de référence est analytique, à la fois pour les fréquences propres et les déformées modales.
Solution de référence#
Solution de référence#
D’après [bib1], les fréquences propres de vibration d’une plaque rectangulaire appuyée sur tous ses bords sont données par la formule analytique:
\({f}_{ij}=\frac{{\lambda}_{ij}^{2}}{2\pi {L}^{2}}{\left[\frac{E{h}^{3}}{12{\rho}_{s}(1-{\nu}^{2})}\right]}^{\frac{1}{2}}\)
avec
\({\lambda}_{ij}^{2}={\pi}^{2}\left[{i}^{2}+{\left(\frac{L}{l}\right)}^{2}{j}^{2}\right]\)
où
\(i\) et \(j\) sont le nombre de demi-ondes de la déformée modale le long du grand axe et du petit axe de la plaque. \({\rho}_{s}\) est la masse par unité de surface.
Soit
\(\begin{array}{c}{f}_{11}=17,13\mathit{Hz}\\ {f}_{21}=35,63\mathit{Hz}\\ {f}_{12}=50,01\mathit{Hz}\\ {f}_{31}=66,46\mathit{Hz}\\ {f}_{22}=68,51\mathit{Hz}\end{array}\) .
Les déformées modales sont également calculées analytiquement: le déplacement modal \({z}_{ij}\) perpendiculaire à la plaque, pour le mode \((i,j)\) , en fonction du point de coordonnées \((x,y)\) , est donné par:
\({z}_{ij}(x,y)=\sin\left(\frac{i\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{j\pi y}{l}\right)\) .
Cas des calculs par sous-structuration : solution de référence de chaque sous-structure#
Chaque sous-structure est une plaque de longueur \(l=1,5m\) et de largeur \(\frac{L}{2}=1m\) , appuyée sur trois cotés et encastrée sur un côté long, vibrant en flexion.
On montre [bib1] que les fréquences propres valent :
\({f}_{ij}=\frac{{\lambda}_{ij}^{2}}{2\pi {l}^{2}}{\left[\frac{E{h}^{3}}{12{\rho}_{s}(1-{\nu}^{2})}\right]}^{\frac{1}{2}}\)
avec \({\lambda}_{11}^{2}=42,53\) , \({\lambda}_{21}^{2}=69,00\) , \({\lambda}_{31}^{2}=116,30\) , \({\lambda}_{12}^{2}=121,00\)
ce qui donne pour les premières fréquences :
\(\begin{array}{}{f}_{11}=47,26\mathrm{Hz}\\ {f}_{21}=76,57\mathrm{Hz}\\ {f}_{31}=129,24\mathrm{Hz}\\ {f}_{12}=134,47\mathrm{Hz}\end{array}\)
Référence bibliographique#
BLEVINS R.D : Formulas for natural frequency and mode shape. Ed. Krieger 1984.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Pour chacune des deux sous-structures: 600 mailles QUAD4.
Grandeurs testées sur la structure complète#
On teste les fréquences propres:
Identification |
Référence |
Tolérance |
Mode n°11 |
||
fréquence |
\(17.13\mathit{Hz}\) |
0.5 % |
Mode n°21 |
||
fréquence |
\(35.63\mathit{Hz}\) |
0.5 % |
Mode n°12 |
||
fréquence |
\(50.01\mathit{Hz}\) |
0.5 % |
Mode n°31 |
||
fréquence |
\(66.46\mathit{Hz}\) |
0.5 % |
Mode n°22 |
||
fréquence |
\(68.51\mathit{Hz}\) |
0.5 % |
On teste aussi les déformées modales des troisième et quatrième modes (repérés par les indices \((1,2)\) et \((3,1)\) respectivement), en récupérant la composante \(\mathit{DZ}\) de la déformée suivant trois lignes: les deux axes médians et la diagonale de la plaque. Chaque ligne est discrétisée par 10 points.
Identification |
Référence |
Tolérance (relative, sauf mention contraire) |
Mode n°12 |
||
Déformée suivant le grand axe médian |
cf. paragraphe 2.1 |
0.1 (en absolu) |
Déformée suivant le petir axe médian |
“” |
1% |
Déformée suivant la diagonale |
“” |
2% |
Mode n°31 |
||
Déformée suivant le grand axe médian |
“” |
4% |
Déformée suivant le petir axe médian |
“” |
1% |
Déformée suivant la diagonale |
“” |
4% |
Figure 3.2-1- Déformées modales suivant le grand axe médian.
Figure 3.2-2- Déformées modales suivant le petit axe médian.
Figure 3.2-3- Déformées modales suivant la diagonale.
Les résultats sont très satisfaisants.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Sous structure 1 : 600 mailles QUAD4.
Sous structure 2 : 509 mailles QUAD4.
Pour chaque sous structure : 6 modes à interface fixe + 20 modes de couplage.
Grandeurs testées sur la structure complète#
Identification |
Référence |
Tolérance |
Mode n°11 |
||
fréquence |
\(17.13\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Mode n°21 |
||
fréquence |
\(35.63\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Mode n°12 |
||
fréquence |
\(50.01\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Mode n°31 |
||
fréquence |
\(66.46\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Mode n°22 |
||
fréquence |
\(68.51\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
On libère les appuis pour tester l’existence des 6 modes de corps rigide.
Sous structure 1 : 600 mailles QUAD4.
Sous structure 2 : 509 mailles QUAD4.
Pour chaque sous structure : 6 modes à interface fixe + 20 modes de couplage.
Grandeurs testées sur la structure complète#
Identification |
Référence |
Tolérance |
Mode n°1 |
||
fréquence |
\(0.0\mathit{Hz}\) |
\(0.1\mathit{Hz}\) |
Mode n°2 |
||
fréquence |
\(0.0\mathit{Hz}\) |
\(0.1\mathit{Hz}\) |
Mode n°3 |
||
fréquence |
\(0.0\mathit{Hz}\) |
\(0.1\mathit{Hz}\) |
Mode n°4 |
||
fréquence |
\(0.0\mathit{Hz}\) |
\(0.1\mathit{Hz}\) |
Mode n°5 |
||
fréquence |
\(0.0\mathit{Hz}\) |
\(0.1\mathit{Hz}\) |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
La structure est découpées en 3 sous structures, toutes appuyées sur les bords extérieurs. Le modèle complet présente deux interfaces, une de type Craig&Bampton, l’autre de type MacNeal. On teste la possibilité d’avoir une sous structure possédant deux types d’interfaces différents :
Sous structure 1 et 3: 360 mailles QUAD4.
Sous structure 2 : 480 mailles QUAD4.
Pour chaque sous structure : 6 modes à interface fixe + 20 modes de couplage.
Grandeurs testées sur la structure complète#
Identification |
Référence |
Tolérance |
Mode n°11 |
||
fréquence |
\(17.13\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Mode n°21 |
||
fréquence |
\(35.63\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Mode n°12 |
||
fréquence |
\(50.01\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Mode n°31 |
||
fréquence |
\(66.46\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Mode n°22 |
||
fréquence |
\(68.51\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
Identique à la modélisation B, mais utilisation des opérateurs CREA_ELEM_SSD et ASSE_ELEM_SSD.
Grandeurs testées sur la structure complète#
Identification |
Référence |
Tolérance |
Mode n°11 |
||
fréquence |
\(17.13\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Mode n°21 |
||
fréquence |
\(35.63\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Mode n°12 |
||
fréquence |
\(50.01\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Mode n°31 |
||
fréquence |
\(66.46\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Mode n°22 |
||
fréquence |
\(68.51\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
Identique à la modélisation D, mais utilisation des opérateurs CREA_ELEM_SSD et ASSE_ELEM_SSD.
Grandeurs testées sur la structure complète#
Identification |
Référence |
Tolérance |
Mode n°11 |
||
fréquence |
\(17.13\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Mode n°21 |
||
fréquence |
\(35.63\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Mode n°12 |
||
fréquence |
\(50.01\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Mode n°31 |
||
fréquence |
\(66.46\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Mode n°22 |
||
fréquence |
\(68.51\mathit{Hz}\) |
1.25 % |
Modélisation G#
Caractéristiques de la modélisation#
Identique à la modélisation A, mais en utilisation une méthode de sous structuration par modes libres uniquement (MODELE_GENE avec OPTION «REDUIT», NUME_DDL_GENE avec méthode ELIMINE pour assurer la compatibilité des interfaces). Les résultats sont mauvais, comme attendus en utilisant ce type d’approche, d’où l’utilisation de tolérances importantes.
Grandeurs testées sur la structure complète#
Identification |
Référence |
Tolérance |
Mode n°11 |
||
fréquence |
\(17.13\mathit{Hz}\) |
100 % |
Mode n°21 |
||
fréquence |
\(35.63\mathit{Hz}\) |
100 % |
Mode n°12 |
||
fréquence |
\(50.01\mathit{Hz}\) |
100 % |
Mode n°31 |
||
fréquence |
\(66.46\mathit{Hz}\) |
100 % |
Mode n°22 |
||
fréquence |
\(68.51\mathit{Hz}\) |
100 % |
Modélisation H#
Caractéristiques de la modélisation#
La plaque est modélisée avec un maillage complet (contrairement à la sous-structuration). Le maillage comporte 1200 mailles QUAD4, ce qui correspond au double de la modélisation A.
Grandeurs testées sur la structure complète#
On teste les fréquences propres:
Identification |
Référence |
Tolérance |
Mode n°11 |
||
fréquence |
\(17.13\mathit{Hz}\) |
0.5 % |
Mode n°21 |
||
fréquence |
\(35.63\mathit{Hz}\) |
0.5 % |
Mode n°12 |
||
fréquence |
\(50.01\mathit{Hz}\) |
0.5 % |
Mode n°31 |
||
fréquence |
\(66.46\mathit{Hz}\) |
0.5 % |
Mode n°22 |
||
fréquence |
\(68.51\mathit{Hz}\) |
0.5 % |
On teste aussi les déformées modales des troisième et quatrième modes (repérés par les indices \((1,2)\) et \((3,1)\) respectivement), en récupérant la composante \(\mathit{DZ}\) de la déformée suivant trois lignes: les deux axes médians et la diagonale de la plaque. Chaque ligne est discrétisée par 10 points.
Identification |
Référence |
Tolérance (relative, sauf mention contraire) |
Mode n°12 |
||
Déformée suivant le grand axe médian |
cf. paragraphe 2.1 |
0.1 (en absolu) |
Déformée suivant le petir axe médian |
“” |
1% |
Déformée suivant la diagonale |
“” |
1% |
Mode n°31 |
||
Déformée suivant le grand axe médian |
“” |
1% |
Déformée suivant le petir axe médian |
“” |
1% |
Déformée suivant la diagonale |
“” |
1% |
Figure 10.2-1- Déformées modales suivant le grand axe médian.
Figure 10.2-2- Déformées modales suivant le petit axe médian.
Figure 10.2-3- Déformées modales suivant la diagonale.
Les résultats sont très satisfaisants.
Synthèse des résultats#
Le calcul modal a été validé sur les modes propres de flexion d’une plaque simplement appuyée sur ses quatre bords, aussi bien pour les fréquences propres que les déformées modales.
Les résultats sont satisfaisants, que le calcul soit fait de manière directe ou par sous-structuration avec base modale de type «Ritz».